Kosinus-Ähnlichkeit: wie aus zwei Wörtern eine Zahl wird

Zwischen deinem Wort und dem Rang, den du siehst, steckt genau eine Rechnung. Sie hat einen Namen, der nach Mathestunde klingt, ist am Ende aber nur eine Winkelmessung, die man auf einem Bierdeckel erklären kann. Genau das machen wir hier.

Wörter sind Pfeile

Jedes Wort, das Kontexto kennt, ist eine Liste aus 300 Zahlen. Du kannst dir das als Punkt auf einer Karte mit 300 Richtungen vorstellen. Noch besser, weil es gleich wichtig wird: als Pfeil vom Mittelpunkt der Karte zu diesem Punkt.

300 Richtungen kann sich niemand vorstellen, und das musst du auch nicht. Alles, was jetzt kommt, funktioniert auf einem Blatt Papier mit zwei Richtungen genauso. Mehr Richtungen heißt nur, dass Bedeutungen feiner unterschieden werden. Die Idee bleibt gleich.

Der Winkel zeigt die Ähnlichkeit

Zwei Pfeile bilden einen Winkel. Dieser Winkel ist das Maß:

• Kleiner Winkel, beide Pfeile zeigen fast in dieselbe Richtung: Die Wörter stehen in ähnlichen Sätzen.
• Rechter Winkel: Die Wörter haben nichts miteinander zu tun.
• Entgegengesetzte Richtung: Die Wörter sind so unähnlich, wie es überhaupt geht.

Der Kosinus ist nur eine Rechenregel, die einen Winkel in eine handliche Zahl übersetzt. Er ergibt 1 bei null Grad, 0 bei neunzig Grad und -1 bei hundertachtzig Grad. Deshalb heißt das Maß Kosinus-Ähnlichkeit, und deshalb liegt es immer zwischen -1 und 1.

Warum der Winkel und nicht der Abstand

Naheliegend wäre, einfach den Abstand zwischen zwei Punkten zu messen. Das macht man aber nicht, und der Grund ist ganz praktisch.

Wie lang der Pfeil eines Wortes ist, hängt damit zusammen, wie häufig das Wort in den Trainingstexten vorkommt. Häufige Wörter haben meist längere Pfeile. Würde man Abstände messen, steckte diese Länge in jeder Messung. Der Rang würde dann zum Teil messen, wie gebräuchlich ein Wort ist, und nicht, wie gut es passt.

Der Winkel kümmert sich gar nicht um die Länge. Zwei Kompassnadeln zeigen in dieselbe Richtung, egal wie lang sie sind. Genau deshalb ist die Kosinus-Ähnlichkeit das übliche Maß für solche Wortmodelle und nicht der normale Abstand.

Ganz reicht das aber nicht. Die Häufigkeit steckt nicht nur in der Länge, sondern auch ein bisschen in der Richtung: Alle Pfeile teilen sich eine gemeinsame Schieflage, die auch mit Häufigkeit zu tun hat. Die entfernt Kontexto, bevor die Ränge berechnet werden. Sonst wären häufige Alltagswörter zu jedem geheimen Wort ähnlich. Wie das geht, steht in All-but-the-Top.

Vom Winkel zum Rang

Den Kosinuswert zeigen wir dir nie. Das ist eine bewusste Entscheidung und der größte Unterschied zu Spielen wie Semantle.

Der Grund: Mit 0,42 kann niemand etwas anfangen. Ist das gut? Fast alle sinnvollen Wortpaare haben sehr ähnliche Werte, und ohne Vergleich sagt eine einzelne Zahl nichts. Zwischen 0,41 und 0,48 kann der Unterschied zwischen „völlig daneben“ und „fast getroffen“ liegen.

Kontexto rechnet deshalb für jedes Rätsel einmal aus, wie ähnlich alle 80.000 Wörter dem geheimen Wort sind, sortiert sie und speichert die Reihenfolge. Angezeigt wird dir der Platz unter den rund 51.000 gewerteten Wörtern. Das sind alle Grundformen außer kleinen Füllwörtern wie Artikeln, Fürwörtern und Bindewörtern. Rang 1 ist das geheime Wort, Rang 2 sein nächster Nachbar. Gebeugte Formen zählen wie ihre Grundform, „Kinder“ also wie „Kind“.

Ein Rang sagt dir also, wo du im Vergleich zu allen anderen Wörtern stehst, und deshalb verstehst du ihn sofort. Rang 300 heißt: Von 51.000 Wörtern sind nur 299 näher dran. Dafür musst du nicht wissen, wie Kosinuswerte funktionieren.

Nebenbei macht das das Spiel schnell. Weil alle Ränge schon vorher berechnet sind, muss beim Raten nichts gerechnet, sondern nur nachgeschaut werden. Was dafür vorher alles passiert, beschreibt Wie das Lösungswort entsteht.

Was das Maß nicht kann

Zwei Dinge überraschen immer wieder, und beide folgen direkt daraus, wie das Maß funktioniert.

Gegenteile liegen nah beieinander. heiß und kalt stehen in fast denselben Sätzen: Das Wasser ist heiß, das Wasser ist kalt. Ihre Umgebung ist fast gleich, also ist der Winkel zwischen ihnen klein, also ist die Ähnlichkeit hoch. Ein sehr guter Rang für heiß, wenn kalt gesucht ist, ist deshalb kein Fehler. Das Spiel beantwortet nur eine andere Frage, als du vielleicht denkst: nicht „bedeutet dasselbe“, sondern „steht in denselben Zusammenhängen“.

Ein Wort mit zwei Bedeutungen hat nur einen Pfeil. Bank bekommt eine einzige Zahlenliste, obwohl es eine Sitzbank und ein Geldinstitut sein kann. Der Pfeil zeigt deshalb irgendwo zwischen beide Bedeutungen und passt zu keiner richtig. Bekommt so ein Wort einen mittelmäßigen Rang, weißt du nicht, welche Bedeutung gemessen wurde.

Warum dadurch manchmal ganz unerwartete Ränge entstehen, steht in Warum hat mein Wort einen schlechten Rang?.

Ein Rechenbeispiel auf dem Papier

Die Formel bleibt abstrakt, solange man sie nicht einmal mit Zahlen sieht. Mit zwei Richtungen geht das auf einem Blatt.

Nimm drei Wörter mit ausgedachten, aber passenden Werten. Die erste Richtung soll ungefähr „lebendig“ messen, die zweite ungefähr „im Haus“:

Für Hund und Katze multiplizierst du die Werte paarweise und zählst sie zusammen: 8 mal 7 plus 6 mal 7 ergibt 98. Die Längen der beiden Pfeile sind rund 10 und rund 9,9. Teilst du 98 durch das Produkt der Längen, also durch etwa 99, kommst du auf ungefähr 0,99. Die beiden zeigen fast genau in dieselbe Richtung.

Für Hund und Tisch ergibt dieselbe Rechnung 8 mal 1 plus 6 mal 9, also 62. Die Längen sind rund 10 und rund 9,06. 62 geteilt durch 90,6 ergibt etwa 0,68. Das ist deutlich weiter auseinander, obwohl die beiden Punkte auf dem Blatt gar nicht so weit voneinander entfernt sind.

Genau darum geht es: Der reine Abstand zwischen Hund und Tisch wäre klein, aber ihre Richtungen sind trotzdem verschieden.

Warum negative Werte fast nie vorkommen

Rechnerisch kann der Kosinus zwischen minus eins und eins liegen. Minus eins hieße: genau entgegengesetzte Richtung. In echten Sprachmodellen kommt das fast nie vor, und der Grund verrät einiges über das Modell.

Ein Wert von minus eins würde bedeuten, dass zwei Wörter immer in gegensätzlichen Zusammenhängen vorkommen. Genau das tun Gegenteile aber nicht. heiß und kalt stehen in denselben Sätzen, vor Wasser, Wetter und Getränk, und liegen deshalb nah beieinander statt weit auseinander. Ein Gegenteil in der Sprache ist auf der Karte kein Gegenteil.

Stattdessen sieht man: Fast alle Wortpaare liegen zwischen null und 0,6. Die allermeisten Wörter haben einfach nichts miteinander zu tun, und ihre Pfeile stehen fast rechtwinklig zueinander. Bei 300 Richtungen ist das ganz normal, denn zwei zufällige Richtungen stehen dort fast immer nahezu rechtwinklig.

Für das Spiel heißt das: Der spannende Bereich ist winzig. Zwischen „völlig daneben“ und „fast getroffen“ liegen manchmal nur ein paar Hundertstel. Deshalb zeigt dir Kontexto einen Rang und keine Prozentzahl.

Selbst nachrechnen

Willst du es mit eigenen Zahlen ausprobieren, brauchst du nur drei Schritte. Nimm zwei Zahlenlisten, multipliziere die Werte paarweise und zähl sie zusammen, und teil das Ergebnis durch das Produkt der beiden Längen. Das ist die ganze Formel. Das Teilen durch die Längen ist genau der Schritt, der die Länge herausrechnet und nur die Richtung übrig lässt.

In der Praxis macht man alle Pfeile vorher einmal gleich lang, nämlich genau 1. Danach reicht das paarweise Multiplizieren und Zusammenzählen, und eine ganze Rangliste lässt sich in einem einzigen großen Rechenschritt erstellen. Genau so machen wir es beim Bau der Spieldaten.

Wo die Zahl am Ende bleibt

Der Kosinuswert verschwindet nicht einfach, wir zeigen ihn nur nicht an. Beim Bau der Spieldaten wird er für jedes der 80.000 Wörter berechnet und dann sortiert. Ab da interessiert nur noch der Platz in der sortierten Liste. Den Wert selbst speichern wir gar nicht erst.

Das ist eine bewusste Vereinfachung mit einem praktischen Vorteil: Eine Liste aus ganzen Zahlen braucht viel weniger Platz als 80.000 Kommazahlen. Nur deshalb können wir mehrere tausend Rätsel vorher berechnen und dir trotzdem in Sekundenbruchteilen antworten.